Коротко математику можно охарактеризовать как науку о числах и фигурах, ее название произошло от греческого "mathema" — наука.
Математика развивалась и меняла постепенно, вместе с развитием человечества.
В истории математики можно выделить несколько отличительных периодов, в которых происходили те или иные крупные достижения.
Зарождение математики относят к 3000 году до н.э. и связывают с народами Вавилонии и Египта.
Формирование элементарной математики начинается со времен Вавилонии и Египта, затем Греции, захватывает эпоху Средневековья и продолжается вплоть до 16 века.
С 17 века происходит развивается математике переменных величин.
И лишь начиная с 20 века можно говорить о становлении современной математики.
Если посмотреть на историю математики укрупненно, то можно проследить как, грубо говоря, одно и то знание создается одним народом, затем перенимается другим, причем зачастую в искаженном трактовании.
А затем в дальнейшем, происходит опровержение или утверждение тех ини иных принципов, правил и теорий.
Собственно такое явление можно наблюдать и в развитии других наук, как естественных, так и гуманитарных.
Считается, что самой древней математической деятельностью был счет.
В основном, счет был необходим, чтобы следить за поголовьем скота и вести торговлю.
Первобытные племена подсчитывали количество предметов, используя пальцы рук и ног.
Сохранившийся наскальный рисунок изображает число 35 как ряд 35 палочек-пальцев.
Концептуализация числа и изобретение четырех основных действий: сложения, вычитания, умножения и деления — стали первыми прогрессивными успехами в арифметике.
Формирование таких простых понятий, как прямая и окружность, знаменовали собой первые достижения геометрии.
Дальнейшее развитие математики началось примерно 3000 лет до н.э. благодаря вавилонянам и египтянам.
Прежде чем появилась математика как теоретическая система, возникло учение о числе как некотором божественном начале мира.
Это, казалось бы, не математическое, а философское-теоретическое учение сыграло роль посредника между древней восточной математикой как собранием образцов для решения отдельных практических задач и древнегреческой математикой как системой положений, строго связанных между собой с помощью доказательства.
При самых бытовых процедурах: обмене денег и расчетах за товары, вычислении простых и сложных процентов, налогов и доли урожая, сдаваемой в пользу государства, храма или землевладельца — применялись арифметика и простейшая алгебра.
Многочисленные арифметические и геометрические задачи возникали в связи со строительством каналов, зернохранилищ и другими общественными работами.
Также очень важной задачей математики был расчет календаря, поскольку календарь использовался для определения сроков сельскохозяйственных работ и религиозных праздников, требующих точности.
Деление окружности на 360, а градуса и минуты - на 60 частей берут начало в вавилонской астрономии.
Большой заслугой вавилонян стало создание системы счисления, в которой для чисел от 1 до 59 использовалось основание 10.
Вавилоняне составили таблицы обратных чисел, таблицы квадратов и квадратных корней, а также таблицы кубов и кубических корней.
степени.
Около 700 г. до н.э. вавилоняне стали применять математику для исследования движений Луны и планет, что позволило им предсказывать положения планет, что было важно как для астрологии, так и для астрономии.
В геометрии вавилоняне знали о таких соотношениях, например, как пропорциональность соответствующих сторон подобных треугольников.
Наше знание древнеегипетской математики основано главным образом на двух папирусах, датируемых примерно 1700 до н.э., в этих папирусах математические сведения восходят к еще более раннему периоду – ок. 3500 до н.э.
Египтяне, так же как и вавилоняне, использовали математику, чтобы вычислять вес тел, площади посевов и объемы зернохранилищ, размеры податей и количество камней, требуемое для возведения тех или иных сооружений.
Египтяне пользовались непозиционной десятичной системой, в которой числа от 1 до 9 обозначались соответствующим числом вертикальных черточек, а для последовательных степеней числа 10 вводились индивидуальные символы, если последовательно комбинировать эти символы, можно было записать любое число.
С появлением папируса возникло иератическое письмо — скоропись, следствием которой стало появление новой числовой системы.
В этой системе для каждого из чисел от 1 до 9 и для каждого из первых девяти кратных чисел 10, 100 и т.д. использовался специальный опознавательный символ.
Геометрия у египтян ограничивалась вычислением площадей прямоугольников, треугольников, трапеций, круга, а также формулами вычисления объемов некоторых тел.
Надо сказать, что математика, которую египтяне использовали при строительстве пирамид, была простой и примитивной: задачи и решения, приведенные в папирусах, сформулированы чисто рецептурно, без каких-либо объяснений.
Египтяне работали с простейшими квадратными уравнениями и арифметической и геометрической прогрессиями, поэтому правила, которые они смогли вывести, были простейшие.
Общим было то, что ни вавилонская, ни египетская математики не располагали общими методами; весь свод математических знаний представлял собой скопление эмпирических формул и правил.
По современным меркам родоначальниками математики явились греки классического периода (6–4 вв. до н.э.).
Настаивание греков на дедуктивном доказательстве было экстраординарным шагом.
Ни одна другая цивилизация не дошла до идеи получения заключений на основе дедуктивного рассуждения, исходящего из сформулированных аксиом.
Устройство греческого общества классического периода — вот одно из объяснений приверженности греков методам дедукции.
В этом устройстве математики и философы принадлежали к высшим слоям общества, где любая практическая деятельность рассматривалась как недостойное занятие.
Это приводило к тому, что математики предпочитали абстрактные рассуждения о числах и пространственных отношениях решению практических задач.
У греков математика делилась на арифметику – теоретический аспект и логистику – вычислительный аспект.
Аттическая система, которая на протяжении долгого времени (с 6 по 3 в. до н. э.) была в ходу и пользовалась популярностью, использовала для обозначения единицы вертикальную черту, а для обозначения чисел 5, 10, 100, 1000 и 10 000 применяла первые буквы греческих наименований этих чисел.
В более поздней ионической системе счисления для обозначения чисел использовались 24 буквы греческого алфавита и три архаические буквы.
Изобретение дедукции приписывается Фалесу Милетскому (ок. 640–546 до н.э.), который также был философом.
Другим великим греком, с чьим именем связывают развитие математики, был Пифагор.
Он основал пифагорейскую философию, расцвет которой произошёл ок. 550–300 до н.э.
Фактически, последователи Пифагора создали чистую математику, состоящую из теории чисел и геометрии.
Они представляли целые числа, складывая камешки в фигуры, с которыми классифицировались эти числа («фигурные числа»).
Кстати, само слово «калькуляция» (что значит расчет, вычисление) берет своё начало от греческого слова, означающего «камешек».
Отсюда становится понятно, почему числа 3, 6, 10 и т.д. пифагорейцы называли треугольными, ведь именно столько камешков можно расположить в виде треугольника, а  числа 4, 9, 16 и т.д. – квадратными, так как столько камешков образовывали квадрат.
Вот так из простых геометрических конфигураций возникали некоторые свойства целых чисел.
Для пифагорейцев любое число представляло собой нечто большее, чем количественную величину: число 2 согласно их воззрению означало различие и потому отождествлялось с мнением, число 4 представляла справедливость, так как это первое число, равное произведению двух одинаковых множителей.
Известно, что такие тройки чисел, как 3, 4 и 5 или 5, 12 и 13, называются пифагоровыми числами.
В геометрической интерпретации, если два числа из тройки приравнять длинам катетов прямоугольного треугольника, то третье число будет равно длине его гипотенузы.
Такая интерпретация, привела пифагорейцев к осознанию более общего факта, теоремы Пифагора, согласно которой в любом прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
Рассматривая прямоугольный треугольник с единичными катетами, пифагорейцы обнаружили, что длина его гипотенузы равна корню из двух.
Это повергло их в смятение, ибо они тщетно пытались представить число корень из двух в виде отношения двух целых чисел, что было крайне важно для их философии.
Величины, непредставимые в виде отношения целых чисел, пифагорейцы назвали несоизмеримыми.
Пифагорейцы представляли иррациональные числа, переводя все величины в геометрические образы.
Если представить единицу и корень из двойки длинами отрезков, то различие между рациональными и иррациональными числами исчезает.
Именно та математика, которую сформировали пифагорейцы, была затем систематизировано изложена и доказана в "Началах" Евклида.
Одним из самых выдающихся пифагорейцев был Платон (ок. 427–347 до н.э.), он был убежден, что физический мир постижим лишь посредством математики.
Полагают, что именно ему принадлежит авторство изобретения аналитического метода доказательства.
Не менее почетное место в истории математики занимает Аристотель, ученик Платона.
Аристотель стал основателем логики и оставил после себя идеи по поводу определений, аксиом, бесконечности и возможности геометрических построений.
Математиком, уступавшим по значимости только Архимеду, был Евдокс.
Именно он ввел понятие величины для таких объектов, как отрезки прямых и углы.
Располагая понятием величины, он строго логически обосновал пифагорейский метод обращения с иррациональными числами.
Александрийский период практически не ничего не привнес в развитие математики.
Александрийская математика стала итогом слияния двух математик: классической греческой и математики Вавилонии и Египта.
В целом можно отметить что, математики александрийского периода были больше склонны к решению чисто технических задач, чем к философии.
Великие александрийские математики – Эратосфен, Архимед, Гиппарх, Птолемей, Диофант и Папп – демонстрировали силу греческого гения в теоретическом абстрагировании, но в то же время применяли свой талант к решению практических проблем и чисто количественных задач.
К несчастью, после завоевания Египта римлянами в 31 до н.э. великая греческая александрийская цивилизация пришла в упадок.
На это явление, Цицерон с гордостью утверждал, что в отличие от греков римляне не мечтатели, а потому применяют свои математические знания на практике, извлекая из них реальную пользу.
Несмотря на это, в развитие самой математики вклад римлян был незначителен.
Римская система счисления основывалась на громоздких обозначениях чисел.
В целом, римляне только на словах были знатоками, а на деле они ничего не создали сами, а все заимствовали от завоеванных народов.
Вклад Индии и арабов также заметен в истории развития математики.
Исторически преемниками греков математики стали индийцы.
Хотя индийские математики не занимались непосредственно доказательствами, но и они внесли свой вклад, введя новые оригинальные понятия и ряд эффективных методов.
Именно они первые ввели число ноль и использовали его как кардинальное число, а также в качестве символа отсутствия единиц в соответствующем разряде.
Махавира (850 н.э.) установил правила операций с нулем, однако ошибочно полагая, что деление числа на нуль никак его не меняет исходное число.
Правильный ответ для случая деления числа на нуль сформулировал Бхаскара (р. в 1114), которому также принадлежат правила действий над иррациональными числами.
Помимо перечисленного, индийцы ввели понятие отрицательных чисел (для обозначения долгов).
Яркий пример того, как бытовые вопросы пересекаются с научными.
Наша современная система счисления, основанная на позиционном принципе записи чисел и нуля обозначения пустого разряда, называется индо-арабской.
На стене храма, построенного в Индии ок. 250 до н.э., обнаружено несколько цифр, напоминающих наши современные.
Тем не менее, переводы и комментарии к великим творением греков стали самым важным вкладом арабских математиков.
Европа познакомилась с этими работами после завоевания арабами Северной Африки и Испании, которые позднее были переведены на латынь.
Цивилизация раннесредневековой Европы была непродуктивной, так как интеллектуальная жизнь сосредоточилась на теологии и загробной жизни.
Из-за этого уровень математического знания не поднимался выше арифметики и простых разделов из "Начал" Евклида.
Наиболее важным разделом математики в Средние века считалась астрология, вследствие чего астрологов называли математиками.
Медицинская практика основывалась преимущественно на астрологических показаниях или противопоказаниях, медикам не оставалось ничего другого, как стать математиками.
Почти три века, начиная с 1100, западноевропейские математики осваивали труды арабов и византийских греков.
Следует отметить, что Европа получила обширную математическую литературу, поскольку арабы владели почти всеми трудами древних греков.
Перевод этих трудов на латынь содействовали развитию математических исследований.
Все великие ученые того времени признавали, что черпали вдохновение в трудах греков.
Первым заслуживающим упоминания европейским математиком стал Леонардо Пизанский (Фибоначчи).
Индо-арабские цифры и методы вычислений, а также арабская алгебра — со всем этим он познакомил европейцев в труде "Книга абака".
В течение следующих нескольких веков математическая активность в Европе заметно спала.
Свод математических знаний, составленный Лукой Пачоли в 1494, не содержал алгебраических новшеств, которых не было у Леонардо.
До начала XVII века математика была преимущественно наукой о числах, скалярных величинах и сравнительно простых геометрических фигурах.
Изучаемые ею величины — длины, площади, объемы рассматриваются как постоянные.
К этому периоду относится возникновение разделов математики арифметики, геометрии, позднее — алгебры и тригонометрии.
В XVII  и XVIII вв. потребности бурно развивавшегося естествознания и техники привели к введению в математику идей движения и изменения, прежде всего в форме переменных величин и функциональных зависимостей.
Это повлекло за собой создание и развитие аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчисления.
В XVIII в. рождаются и получают развитие теория дифференциальных уравнений, дифференциальная геометрия.
В ХІХи XX вв. математика поднимается на новый уровень абстракции.
Обычные величины и числа оказываются лишь частными случаями объектов, изучаемых современной алгеброй.
А геометрия переходит к исследованию пространств и пространственных отношений.
Развиваются новые дисциплины, такие как теория функций комплексного переменного, теория групп, неевклидова геометрия, теория множеств, математическая логика, функциональный анализ.
Для того, чтобы на практике исследовать результаты теоретического математического исследования, необходимо получить ответ на поставленную задачу в числовой форме.
По этой причине в XX в. численные методы математики выделяются в самостоятельную ветвь — вычислительную математику.
Стремление упростить и ускорить решения ряда трудоёмких вычислительных задач привело к появлению вычислительных машин.
Прослеживались тенденции потребности самой математики, «математизация» различных областей науки, проникновение математических методов во многие сферы человеческой деятельности, быстрый прогресс вычислительной техники.
Эти тенденции привели к появлению целого ряда новых математических дисциплин: теория игр, теория информации, теория графов, дискретная математика, теория оптимального управления.
Также на математику сильное влияние оказало резкое развитие физики.
Начало «высшей математики» было положено созданием дифференциального и интегрального исчислений.
В основе высшей математики лежит математический анализ.
Методы математического анализа, в отличие от понятия предела, выглядели ясными и понятными.
Многие годы Ньютон и Лейбниц, тщетно пытались дать точное определение понятию предела.
Несмотря на многочисленные сомнения в обоснованности математического анализа, он находил все более широкое применение.
Дифференциальное и интегральное исчисления стали краеугольными камнями математического анализа.
Со временем математический анализ включил в себя и такие предметы, как теория дифференциальных уравнений, обыкновенных и с частными производными, бесконечные ряды, вариационное исчисление, дифференциальная геометрия и многое другое.
К 1800 математика базировалась на двух незыблемых, основных принципах: числовой системе и евклидовой геометрии.
С учетом того, что многие свойства числовой системы доказывались геометрически, евклидова геометрия была наиболее надежной частью здания математики.
Однако не могла быть подтверждена опытным путем аксиома о параллельных, которая содержала утверждение о прямых, простирающихся в бесконечность.
Любопытно, что даже версия этой аксиомы, принадлежащая самому Евклиду, вовсе не утверждает, чтокакие-то прямые не пересекутся, в ней скорее формулируется условие, при котором они пересекутся в некоторой конечной точке.
Столетиями математики пытались найти аксиоме о параллельных подходящую замену.
Но в каждом варианте непременно оказывался какой-нибудь пробел или недостаток.
Честь создания неевклидовой геометрии выпала Н.И.Лобачевскому (1792-1856) и Я.Бойяи (1802-1860), каждый из которых независимо друг от друга выпустил в свет свое собственное оригинальное изложение неевклидовой геометрии.
К примеру, в их геометриях через данную точку можно было провести бесконечно много параллельных прямых (как известно, в классической евклидовой геометрии этого сделать невозможно).
Однако позже, в геометрии Б.Римана (1826-1866) через точку вне прямой нельзя провести ни одной параллельной.
До какого-то момента, о физических приложениях неевклидовой геометрии никто серьезно не помышлял.
1915 год ознаменовался созданием А.Эйнштейном (1879-1955) общей теории относительности.
Это событие пробудило научный мир к осознанию реальности неевклидовой геометрии.
Неевклидова геометрия стала впечатляющим интеллектуальным свершением 19 в.
Она ясно дала всему миру понять, что математику нельзя больше рассматривать как свод непререкаемых истин.
Максимум, что может дать эта наука — она может гарантировать достоверность доказательства, основанного на недостоверных аксиомах.
Но зато математики впредь обрели свободу исследовать любые идеи, которые были для них привлекательными.
Каждый математик теперь волен вводить свои собственные понятия и устанавливать аксиомы по своему усмотрению, следя лишь за тем, чтобы проистекающие из аксиом теоремы не противоречили друг другу.
Грандиозное расширение круга математических исследований в конце прошлого века явилось следствием этой новой свободы.
До 1870 математики полагали, что действуют по предначертаниям древних греков, применяя дедуктивные рассуждения к математическим аксиомам.
Они считали, что таким образом обеспечивают своим заключениям не меньшую надежность, чем та, которой обладали аксиомы.
Создание неевклидовой геометрии сопровождалось также осознанием существования в евклидовой геометрии логических пробелов.
Одним из недостатков евклидовых Начал было использование допущений, не сформулированных в явном виде.
Евклид не сомневался в свойствах его геометрических фигур, не включил их в аксиомы.
Доказывая подобие двух треугольников, Евклид воспользовался наложением одного треугольника на другой, предполагая, что при движении свойства фигур не изменяются.
Помимо таких логических пробелов, Начало содержало также несколько ошибочных доказательств.
Создание новых алгебр породило аналогичные сомнения и в отношении логической обоснованности арифметики и алгебры обычной числовой системы.
Все ранее известные математикам числа обладали таким важным свойством, как коммутативность (т.е. ab = ba).
В 1843 математиком У.Гамильтоном были открыты кватернионы, что совершило переворот в традиционных представлениях о числах.
Они оказались полезными для решения физических и геометрических проблем, хотя для кватернионов не выполнялось свойство коммутативности.
Квартернионы вынудили математиков осознать, что если не считать части евклидовых Начал, арифметика и алгебра не имеют собственной аксиоматической основы.
Математики свободно обращались с отрицательными и комплексными числами и производили алгебраические операции.
Таким образом, логическая строгость уступила место демонстрации практической пользе.
В XX в. были созданы новые математические теории, как, например, топология, математическая логика, и коренным образом преобразованы старые, изменился сам язык математики, так что математику XIX в. для чтения современных книг пришлось бы переучиваться заново.
В конечном счете историю математики нельзя рассматривать изолировано от других наук, так как она достаточно тесно связана с их историей, а также с историей культуры, техники, искусства.
